公式大全

6601公式大全

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proximity Minimum Linewidth

$$\begin{array}{rl}{W}_{\min }& \approx \sqrt{k_1\lambda g}\\ \lambda & =\frac{c}{f}\\ E& =h\frac{c}{\lambda }\end{array}$$

其中，

$k_1$ is a constant

$\lambda$ is Wavelength of the exposure source

$g$ is Gap between the mask and the wafer surface

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电子的德布罗意波长

$$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2meV}}$$

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Numerical Aperture

$$NA=nsin\theta$$

For air, n=1：

$$NA=sin\theta \approx \frac{\frac{d}{2}}{f}=\frac{d}{2f}$$

projection Minimum Linewidth

$$W_{m}in\approx k_1\frac{\lambda }{NA}$$

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Depth of Focus

$$\begin{array}{rl}\sigma & =\pm \frac{\frac{W_{\min }}{2}}{\tan \theta }\simeq \pm \frac{\frac{k\lambda }{2NA}}{\sin \theta }\\ \sigma & =\pm \frac{\frac{k\lambda }{2NA}}{\frac{NA}{n}}\simeq \pm \frac{n{k}_2\lambda }{(NA{)}^2}\end{array}$$

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MTF (Modulation transfer function)

$$MTF=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$$

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CMTF (Critical Modulation transfer function)

$$\gamma =\frac{1}{lo{g}_{10}\frac{(D_{100})}{D_0}}$$ $$CMTF=\frac{D_f-D_0}{D_f+D_0}=\frac{{10}^{\frac{1}{\gamma }}-1}{{10}^{\frac{1}{\gamma }}+1}$$

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浸润式光刻的DOF

$$DOF=k_2\frac{\lambda }{(NA{)}^2}$$

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反应离子刻蚀

$$|V_c|=V_a(\frac{A_a}{A_c}{)}^4$$

其中 $V_c$ 是阴极(cathode)与等离子体的电势差， $V_a$ 是阳极(anode)与等离子体的电势差， $A_c$ 是阴极板的面积， $A_a$ 是阳极板的面积。

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刻蚀腔室三个公式

在这个图中需要明确三个量：

1. 稳态压力 $p$ (Steady State Pressure)：刻蚀腔室达到稳态时，进气流量 $F$ (单位： $L/s$ )与泵抽速 $S$ (单位： $L/s$ )达到平衡，决定腔室稳态压力 $p$ 。定量公式如下：

$$\begin{gathered} p=\frac{F\cdot 760}{S}Torr \\ \mathrm{注}\mathrm{意}：1atm=760Torr \end{gathered}$$

2. 平均停留时间 $t_r$ (Average Residence Time)：平均停留时间 $t_r$ 是气体分子在腔室中停留、参与等离子体反应的平均时间(被泵抽走前的时间)。下面给出计算公式：

$$t_r=\frac{V\cdot p}{760\cdot F}，\mathrm{其}\mathrm{中}V\mathrm{为}\mathrm{腔}\mathrm{室}\mathrm{体}\mathrm{积}，p\mathrm{为}\mathrm{稳}\mathrm{态}\mathrm{压}\mathrm{力}，F\mathrm{为}\mathrm{进}\mathrm{气}\mathrm{流}\mathrm{量}；$$

​ 由此，平均停留时间可以被整理为：

$$t_r=\frac{V}{S}$$

​ 当抽速 $S$ 固定时，平均停留时间 $t_r$ 仅由腔室体积 $V$ 和抽速 $S$ 决定，与进气流量 $F$ 、稳态压力 $p$ 完全无关。所以我们我们不能通过增加 $F$ 来延长停留时间以及提高相应的蚀刻速率。

3. 通量/气体负载 $Q$ (Throughput/gas load)：描述了刻蚀腔室气体输运效率。定义为：

$$\begin{gathered} Q=p\cdot S， \\ p:\mathrm{腔}\mathrm{室}\mathrm{稳}\mathrm{态}\mathrm{压}\mathrm{力}(\mathrm{单}\mathrm{位}：Torr) \\ S:\mathrm{真}\mathrm{空}\mathrm{泵}\mathrm{抽}\mathrm{速}(\mathrm{单}\mathrm{位}：L/s) \end{gathered}$$

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宏观负载效应

$$R=\frac{R_o}{(1+kA)}$$

其中， $R$ 为空腔刻蚀速率， $A$ 为待刻蚀的暴露面积， $k$ 是一个常数。

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CMP工艺

(1) 去除速率(Removal Rate)

$$RR=kPv$$

其中：

• k：由待抛光材料的硬度 / 杨氏模量、研磨液配方、抛光垫特性共同决定，固定工艺条件下为定值；
• P：抛光垫对晶圆表面施加的下压力；
• v：晶圆与抛光垫之间的相对运动速度。

(2) 台阶高度比(Step Height Ratio, SHR)

• $S{H}_{pre}$ ：抛光前的台阶高度，即晶圆表面凸起结构与基底平面的高度差；

• $S{H}_{post}$ ：抛光后的台阶高度，即抛光后剩余的高度差；

• 公式：

$$SHR=\frac{S{H}_{post}}{S{H}_{pre}}$$

由于 CMP 会优先磨平凸起的高点，抛光后台阶高度必然降低，因此SHR 永远小于 1；

SHR 越小，代表平坦化效果越好。SHR 越接近 0，说明抛光后的表面越接近完美的全局平面，越能满足先进制程光刻的工艺要求。

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Optical Microscopy(光学显微镜)的瑞利判据

$$s=\frac{0.61\lambda }{NA}=\frac{0.61\lambda }{nsin\theta }$$

各参数含义：

• $s$ ：两个点能被分辨的最小间距（即显微镜的分辨率）；

• $\lambda$ ：入射光在真空中的波长；

• NA：数值孔径，由物镜的光学特性决定， $n$ 是浸没介质的折射率， $\theta$ 是物镜对被测物体的半张角。

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硅衬底消耗厚度

由 $Si{O}_2$ 的分子密度和 $Si$ 的原子密度决定：

$$X_{si}=X_{ox}\cdot \frac{N_{ox}}{N_{si}}$$

其中：

• $N_{ox}$ ： $Si{O}_2$ 的分子密度，约 $2.3\times {10}^{22}molecules/c{m}^3$ ；
• $N_{si}$ ：单晶硅的原子密度，约 $5\times {10}^{22}atoms/c{m}^3$ 。

代入数值可得到常用简化式：

$$X_{si}=X_{ox}\cdot \frac{2.3\times {10}^{22}molecules/c{m}^3}{5\times {10}^{22}atoms/c{m}^3}=0.46X_{ox}$$

也就是说生长 1μm 的 SiO₂，会消耗 0.46μm 的硅。

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热氧化动力学模型

感觉考试应该会给公式，不给也太BT了，有时间就记，没时间就寄

Deal-Grove 模型可以预测氧化层厚度与氧化时间、温度关系：

$$t_{ox}^2+A{t}_{ox}=B(t+\tau )$$

其中：

• $t_{ox}$ ：最终生成的氧化层厚度；
• $t$ ：氧化时间；
• A、B：氧化速率系数，由氧化温度、氧化剂类型、硅晶向决定；
• $\tau$ ：初始氧化时间修正参数，用于修正薄氧化层的初始快速氧化阶段，也可用于计算已有初始氧化层的再氧化。

通过公式变形，可直接得到氧化层厚度的显式解，这个公式考试会给，但是要知道各个参数是什么意义：

$$t_{ox}=\frac{A}{2}\{\sqrt{1+\frac{4B}{A^2}(t+\tau )}-1\}$$

根据氧化层厚度的不同，可以分为两种情况：

1. 薄氧化层(线性区)

当氧化层极薄时， $t_{ox}^2\ll A{t}_{ox}$ ，二次项可忽略，公式简化为：

$$t_{ox}\simeq \frac{B}{A}(t+\tau )$$

• 氧化层厚度与氧化时间呈线性关系，氧化速率由界面反应速率决定。
• 速率系数： $\frac{B}{A}$ 称为线性速率系数，决定了薄氧化层的生长速率。

2. 厚氧化层(抛物线区)

当**氧化层很厚*时， $t_{ox}^2\gg A{t}_{ox}$ ，一次项可忽略，公式简化为：

$$tox\simeq \sqrt{B(t+\tau )}$$

• 氧化层厚度与氧化时间的平方根呈抛物线关系，氧化速率由氧化剂在 SiO₂中的扩散速率决定。
• 速率系数： $B$ 称为抛物线速率系数，决定了厚氧化层的生长速率。

6306公式大全

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耗尽层总宽度定义式

$$W=W_n+W_p=\sqrt{\frac{2{\epsilon }_r{\epsilon }_0{V}_0}{e}\cdot (\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D})}$$

$W_n$ 为 n 区耗尽区宽度； $W_p$ 为 p 区耗尽区宽度； ${\epsilon }_r$ 为相对介电常数； ${\epsilon }_0$ 为绝对介电常数； $V_0$ 为内建电势差； $e$ 为电子电荷量； $N_a$ 为受主原子掺杂浓度； $N_d$ 为施主原子掺杂浓度

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NMOS 长沟道 MOSFET 线性区漏极电流：

当 $V_{GS}>V_{TH},0<V_{DS}\le V_{GS}-V_{TH}$ 时

$$I_D={\mu }_n{C}_{ox}\frac{W}{L}[(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}-\frac{1}{2}{V}_{DS}^2]$$

简化形式：

当 $V_{DS}\ll V_{GS}-V_{TH}$ 时：

$$I_D\approx {\mu }_n{C}_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH})V_{DS}$$

PMOS的线性区漏极电流其实就是将电压都取绝对值即可

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漏源电阻计算式

$$R_{DS}=\frac{V_{DS}}{I_D}=\frac{1}{({\mu }_n{C}_{ox})\left(\frac{W}{L}\right)(V_{GS}-V_T)}$$

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NMOS 饱和区的漏极电流计算式

1. 理想长沟道 NMOS 饱和区漏极电流（忽略沟道长度调制效应， $\lambda =0$ ）

   $$I_D=\frac{1}{2}{\mu }_n{C}_{ox}\frac{W}{L}{(V_{GS}-V_{TH})}^2$$

2. 考虑沟道长度调制效应( $\lambda$ 不为0)完整公式

$$I_D=\frac{1}{2}{\mu }_n{C}_{ox}\frac{W}{L}{(V_{GS}-V_{TH})}^2(1+\lambda V_{DS})$$

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阈值电压

随着栅极电压到达两倍 p 型硅衬底的费米势时，耗尽层达到最宽。沟道并由此开始反型。此时的 $V_{GS}$ 的值称为阈值电压 $V_T$ ，有计算式：

$$V_T=V_{T0}+\gamma (\sqrt{|-{\varphi }_s+V_{SB}|}-\sqrt{|{\varphi }_s|})$$

$V_{T_0}$ 为零偏置阈值电压； $\gamma$ 为体效应系数； ${\varphi }_s$ 为阈值表面电压； $V_{}$ 为源衬电势差。

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栅氧单位面积电容计算式

$$C_{ox}=\frac{{\epsilon }_{ox}}{t_{ox}}$$

其中， $C_{ox}$ ：栅氧单位面积电容； ${\epsilon }_{ox}$ ：氧化层的介电常数； $t_{ox}$ ：栅氧化层厚度

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PN 结 内建电势差（内建电压）

$$V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln \left(\frac{N_a{N}_d}{n_i^2}\right)$$

• $V_{bi}$ ：内建电势差（V）

• $kT/q$ ：热电压，室温≈0.026 V

• $N_A$ ：受主掺杂浓度（cm⁻³）

• $N_D$ ：施主掺杂浓度（cm⁻³）

• $n_i$ ：本征载流子浓度（Si 室温≈ $1.5\times {10}^{10}{\text{cm}}^{-3}$ ）

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器件的增益系数计算式

$$\beta =\mu C_{o}x\frac{W}{L}$$

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Elmore 延时模型

$${\tau }_{Di}=\sum _{k=1}^N{C}_k{R}_{ik}$$ $${\tau }_{DN}=\sum _{i=1}^N{C}_i\sum _{j=1}^i{R}_j=\sum _{i=1}^N{C}_i{R}_{ii}$$

例如上图中的延时就可以表示为：

$$\begin{array}{rl}{t}_{pd}& \approx \sum _{nodesi}{R}_{i-to-source}\cdot C_i\\ & =R_1{C}_1+(R_1+R_2)C_2+...+(R_1+R_2+...+R_N)C_N\\ & =R_1(C_1+C_2+...+C_N)+R_2(C_2+C_3+...+C_N)+...+R_N{C}_N\end{array}$$

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大扇入时的设计技术

$$t_p=a_{1}FI+a_{2}F{I}^2+a_{3}FO$$

优化设计技术：

• 调整晶体管尺寸
• 逐级增加晶体管尺寸
• 重新安排输入
• 重组逻辑
• 添加缓冲
• 减小电压摆幅

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全加器布尔式

$$\begin{gathered} s=a\oplus b\oplus c_i \\ {c}_o=ab+b{c}_i+a{c}_i \end{gathered}$$

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